Tìm Giao Tuyến Của Hai Mặt Phẳng

Rate this post

TOÁN 11 – CÁCH XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN VÀ GIAO ĐIỂM TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

TOÁN 11 – CÁCH XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN VÀ GIAO ĐIỂM TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Bài viết hướng dẫn phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng thông qua các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.

Phương pháp
+ Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, có nghĩa giao tuyến là đường thẳng vừa thuộc mặt phẳng này vừa thuộc mặt phẳng kia.
+ Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung thuộc cả hai mặt phẳng, nối hai điểm chung đó được giao tuyến cần tìm.
+ Về dạng toán này, điểm chung thứ nhất thường dễ tìm, điểm chung còn lại ta phải tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng, đồng thời cùng thuộc một mặt phẳng thứ ba mà chúng không song song với nhau, giao điểm của hai đường thẳng đó là điểm chung thứ hai.

Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tứ giác $ABCD$ sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một điểm $S$ không thuộc mặt phẳng $(ABCD)$. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:
a) Mặt phẳng $(SAC)$ và mặt phẳng $(SBD).$
b) Mặt phẳng $(SAB)$ và mặt phẳng $(SCD).$
c) Mặt phẳng $(SAD)$ và mặt phẳng $(SBC).$

a) Ta có: $S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$ $(1).$
Trong mặt phẳng $(ABCD)$ gọi $O = AC \cap BD.$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}
O \in AC,AC \subset \left( {SAC} \right)\\
O \in BD,BD \subset \left( {SBD} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO.$
b) Ta có: $S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)$ $(3).$
Trong mặt phẳng $(ABCD)$ gọi $E = AB \cap CD.$
Vì: $\left\{ \begin{array}{l}
E \in AB,AB \subset \left( {SAB} \right)\\
E \in CD,CD \subset \left( {SCD} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow E \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)$ $(4).$
Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SE.$
c) Ta có: $S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)$ $(5).$
Trong mặt phẳng $(ABCD)$ gọi $F = AD \cap BC.$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}
F \in AD,AD \subset \left( {SAD} \right)\\
F \in BC,BC \subset \left( {SBC} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow F \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)$ $(6).$
Từ $(5)$ và $(6)$ suy ra: $\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SF.$

Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AD, BC.$
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(IBC)$ và mặt phẳng $(JAD).$
b) Lấy điểm $M$ thuộc cạnh $AB$, $N$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $M,N$ không là trung điểm. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(IBC)$ và mặt phẳng $(DMN).$

a) Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $(IBC)$ và $(JAD).$
Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
I \in \left( {IBC} \right)\\
I \in AD,AD \subset \left( {JAD} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow I \in \left( {IBC} \right) \cap \left( {JAD} \right)$ $(1).$
$\left\{ \begin{array}{l}
J \in \left( {JAD} \right)\\
J \in BC,BC \subset \left( {IBC} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow J \in \left( {IBC} \right) \cap \left( {JAD} \right)$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $\left( {IBC} \right) \cap \left( {JAD} \right) = IJ.$
b) Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $(IBC)$ và $(DMN)$.
Trong mặt phẳng $(ABD)$ gọi $E = BI \cap DM.$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}
E \in BI,BI \subset \left( {IBC} \right)\\
E \in DM,DM \subset \left( {DMN} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow E \in \left( {IBC} \right) \cap \left( {DMN} \right)$ $(3).$
Trong mặt phẳng $(ACD)$ gọi $F = CI \cap DN.$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}
F \in CI,CI \subset \left( {IBC} \right)\\
F \in DN,DN \subset \left( {DMN} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow F \in \left( {IBC} \right) \cap \left( {DMN} \right)$ $(4).$
Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $\left( {IBC} \right) \cap \left( {DMN} \right) = EF.$

Tham Khảo Thêm:  Cách Xử Lý Khi Ghi Sai Trong Giấy Khai Sinh

Ví dụ 3: Cho tứ diện $ABCD$. Lấy điểm $M$ thuộc cạnh $AB$, $N$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $MN$ cắt $BC$. Gọi $I$ là điểm bên trong tam giác $BCD.$ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a) Mặt phẳng $(MNI)$ và mặt phẳng $(BCD).$
b) Mặt phẳng $(MNI)$ và mặt phẳng $(ABD).$
c) Mặt phẳng $(MNI)$ và mặt phẳng $(ACD).$

a) Mặt phẳng $(MNI)$ và mặt phẳng $(BCD).$
Gọi $H = MN \cap BC$ $\left( {MN,BC \subset \left( {ABC} \right)} \right).$
Ta có:
$I \in \left( {IMN} \right) \cap \left( {BCD} \right)$ $(1).$
$\left\{ \begin{array}{l}
H \in MN,MN \subset \left( {IMN} \right)\\
H \in BC,BC \subset \left( {BCD} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow H \in \left( {IMN} \right) \cap \left( {BCD} \right)$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $\left( {IMN} \right) \cap \left( {BCD} \right) = HI.$
b) Mặt phẳng $(MNI)$ và mặt phẳng $(ABD).$
Trong mặt phẳng $(BCD)$, gọi $E$ và $F$ lần lượt là giao điểm của $HI$ với $BD$ và $CD.$
Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
M \in \left( {MNI} \right)\\
M \in AB \subset \left( {ABD} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow E \in \left( {MNI} \right) \cap \left( {ABD} \right)$ $(3).$
$\left\{ \begin{array}{l}
E \in HI \subset \left( {MNI} \right)\\
E \in BD \subset \left( {ABD} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow E \in \left( {MNI} \right) \cap \left( {ABD} \right)$ $(4).$
Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $\left( {MNI} \right) \cap \left( {ABD} \right) = ME.$
c) Mặt phẳng $(MNI)$ và mặt phẳng $(ACD).$
Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
N \in \left( {MNI} \right)\\
N \in AC \subset \left( {ACD} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow N \in \left( {MNI} \right) \cap \left( {ACD} \right)$ $(5).$
$\left\{ \begin{array}{l}
F \in HI \subset \left( {MNI} \right)\\
F \in CD \subset \left( {ACD} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow F \in \left( {MNI} \right) \cap \left( {ACD} \right)$ $(6).$
Từ $(5)$ và $(6)$ suy ra: $\left( {MNI} \right) \cap \left( {ACD} \right) = NF.$

Ví dụ 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang có $AB$ song song với $CD$. Gọi $I$ là giao điểm của $AD$ và $BC$. Lấy $M$ thuộc cạnh $SC$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a) Mặt phẳng $(SAC)$ và mặt phẳng $(SBD).$
b) Mặt phẳng $(SAD)$ và mặt phẳng $(SBC).$
c) Mặt phẳng $(ADM)$ và mặt phẳng $(SBC).$

a) Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD).$
Ta có: $S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$ $\left( 1 \right).$
Trong mặt phẳng $(ABCD)$ gọi $H = AC \cap BD$, ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
H \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\
H \in BD \subset \left( {SBD} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow H \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$ $\left( 2 \right).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SH.$
b) Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$.
Ta có: $S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)$ $\left( 3 \right).$
Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ gọi $I = AD \cap BC$, ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
I \in AD \subset \left( {SAD} \right)\\
I \in BC \subset \left( {SBC} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow I \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)$ $(4).$
Trong $(3)$ và $(4)$ suy ra: $\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SI.$
c) Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $\left( {ADM} \right)$ và $\left( {SBC} \right).$
Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
M \in \left( {ADM} \right)\\
M \in SC,SC \subset \left( {SBC} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow M \in \left( {ADM} \right) \cap \left( {SBC} \right)$ $\left( 5 \right).$
$\left\{ \begin{array}{l}
I \in AD,AD \subset \left( {ADM} \right)\\
I \in BC,BC \subset \left( {SBC} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow I \in \left( {ADM} \right) \cap \left( {SBC} \right)$ $(6).$
Từ $(5)$ và $(6)$ suy ra: $\left( {ADM} \right) \cap \left( {SBC} \right) = MI.$

Tham Khảo Thêm:  Hướng Dẫn Tạo VPN Của Riêng Bạn Với Các Bước Cụ Thể.

Ví dụ 5: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC, CD, SA$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a) Mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SAB).$
b) Mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SAD).$
c) Mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SBC).$
d) Mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SCD).$

Gọi $F = MN \cap AB$, $E = MN \cap AD$ (vì $MN,AB,AD \subset \left( {ABCD} \right)$).
a) Mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SAB).$
Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
P \in \left( {MNP} \right)\\
P \in SA,SA \subset \left( {SAB} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow P \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SAB} \right)$ $\left( 1 \right).$
$\left\{ \begin{array}{l}
F \in MN,MN \subset \left( {MNP} \right)\\
F \in AB,AB \subset \left( {SAB} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow F \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SAB} \right)$ $\left( 2 \right).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $\left( {MNP} \right) \cap \left( {SAB} \right) = PF.$
b) Mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SAD).$
Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
P \in \left( {MNP} \right)\\
P \in SA,SA \subset \left( {SAD} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow P \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SAD} \right)$ $\left( 3 \right).$
$\left\{ \begin{array}{l}
E \in MN,MN \subset \left( {MNP} \right)\\
E \in AD,AD \subset \left( {SAD} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow E \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SAD} \right)$ $\left( 4 \right).$
Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra $\left( {MNP} \right) \cap \left( {SAD} \right) = PE.$
c) Mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SBC).$
Trong mặt phẳng $(SAB)$ gọi $K = PF \cap SB$, ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
K \in PF,PF \subset \left( {MNP} \right)\\
K \in SB,SB \subset \left( {SBC} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow K \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SBC} \right)$ $\left( 5 \right).$
$\left\{ \begin{array}{l}
M \in \left( {MNP} \right)\\
M \in BC,BC \subset \left( {SBC} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow M \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SBC} \right)$ $\left( 6 \right).$
Từ $(5)$ và $(6)$ suy ra $\left( {MNP} \right) \cap \left( {SBC} \right) = MK.$
d) Mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SCD).$
Gọi $H = PE \cap SD$ $\left( {PE,SD \subset \left( {SAD} \right)} \right)$, ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
H \in PE,PE \subset \left( {MNP} \right)\\
H \in SD,SD \subset \left( {SCD} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow H \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SCD} \right)$ $\left( 7 \right).$
$\left\{ \begin{array}{l}
N \in \left( {MNP} \right)\\
N \in CD,CD \subset \left( {SCD} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow N \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SCD} \right)$ $\left( 8 \right).$
Từ $(7)$ và $(8)$ suy ra: $\left( {MNP} \right) \cap \left( {SCD} \right) = NH.$

Ví dụ 6: Cho tứ diện $S.ABC$. Lấy $M \in SB$, $N \in AC$, $I \in SC$ sao cho $MI$ không song song với $BC, NI$ không song song với $SA.$ Tìm giao tuyến của mặt phẳng $(MNI)$ với các mặt $(ABC)$ và $(SAB).$

a) Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $(MNI)$ và $(ABC).$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}
N \in \left( {MNI} \right)\\
N \in AC,AC \subset \left( {ABC} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow N \in \left( {MNI} \right) \cap \left( {ABC} \right)$ $(1).$
Trong mặt phẳng $(SBC)$ gọi $K = MI \cap BC.$
Vì: $\left\{ \begin{array}{l}
K \in MI \subset \left( {MNI} \right)\\
K \in BC,BC \subset \left( {ABC} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow K \in \left( {MNI} \right) \cap \left( {ABC} \right)$ $\left( 2 \right).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $\left( {MNI} \right) \cap \left( {ABC} \right) = NK.$
b) Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $(MNI)$ và $(SAB).$
Gọi $J = NI \cap SA$ $\left( {NI,SA \subset \left( {SAC} \right)} \right).$
Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
M \in \left( {MNI} \right)\\
M \in SB,SB \subset \left( {SAB} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow M \in \left( {MNI} \right) \cap \left( {SAB} \right)$ $\left( 3 \right).$
$\left\{ \begin{array}{l}
J \in NI \subset \left( {MNI} \right)\\
J \in SA,SA \subset \left( {SAB} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow J \in \left( {MNI} \right) \cap \left( {SAB} \right)$ $\left( 4 \right).$
Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $\left( {MNI} \right) \cap \left( {SAB} \right) = MJ.$

Tham Khảo Thêm:  Chỉ Tiêu Tuyển Sinh Vào Lớp 10 TP Hồ Chí Minh 2022

Ví dụ 7: Cho tứ diện $ABCD$, $M$ là một điểm nằm bên trong tam giác $ABD$, $N$ là một điểm bên trong tam giác $ACD$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a) Mặt phẳng $(AMN)$ và mặt phẳng $(BCD).$
b) Mặt phẳng $(DMN)$ và mặt phẳng $(ABC).$

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(AMN)$ và $(BCD).$
Trong mặt phẳng $(ABD)$, gọi $E = AM \cap BD$, ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
E \in AM,AM \subset \left( {AMN} \right)\\
E \in BD,BD \subset \left( {BCD} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow E \in \left( {AMN} \right) \cap \left( {BCD} \right)$ $(1).$
Trong $(ACD)$ gọi $F = AN \cap CD$, ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
F \in AN,AN \subset \left( {AMN} \right)\\
F \in CD,CD \subset \left( {BCD} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow F \in \left( {AMN} \right) \cap \left( {BCD} \right)$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $\left( {AMN} \right) \cap \left( {BCD} \right) = EF.$
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(DMN)$ và $(ABC).$
Trong mặt phẳng $(ABD)$, gọi $P = DM \cap AB$, ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
P \in DM,DM \subset \left( {DMN} \right)\\
P \in AB,AB \subset \left( {ABC} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow P \in \left( {DMN} \right) \cap \left( {ABC} \right)$ $(3).$
Trong $(ACD)$, gọi $Q = DN \cap AC$, ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
Q \in DN,DN \subset \left( {DMN} \right)\\
Q \in AC,AC \subset \left( {ABC} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow Q \in \left( {DMN} \right) \cap \left( {ABC} \right)$ $\left( 4 \right).$
Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $\left( {DMN} \right) \cap \left( {ABC} \right) = PQ.$

Ví dụ 8: Cho tứ diện $ABCD$. Lấy $I \in AB$, $J$ là điểm trong tam giác $BCD$, $K$ là điểm trong tam giác $ACD$. Tìm giao tuyến của mặt phẳng $(IJK)$ với các mặt của tứ diện.

Gọi:
$M = DK \cap AC$ $\left( {DK,AC \subset \left( {ACD} \right)} \right).$
$N = DJ \cap BC$ $\left( {DJ,BC \subset \left( {BCD} \right)} \right).$
$H = MN \cap KJ$ $\left( {MN,KJ \subset \left( {DMN} \right)} \right).$
Vì $H \in MN$, $MN \subset \left( {ABC} \right)$ $ \Rightarrow H \in \left( {ABC} \right).$
Gọi:
$P = HI \cap BC$ $\left( {HI,BC \subset \left( {ABC} \right)} \right).$
$Q = PJ \cap CD$ $\left( {PJ,CD \subset \left( {BCD} \right)} \right).$
$T = QK \cap AD$ $\left( {QK,AD \subset \left( {ACD} \right)} \right).$
Theo cách dựng điểm ở trên, ta có:
$\left( {IJK} \right) \cap \left( {ABC} \right) = IP.$
$\left( {IJK} \right) \cap \left( {BCD} \right) = PQ.$
$\left( {IJK} \right) \cap \left( {ACD} \right) = QT.$
$\left( {IJK} \right) \cap \left( {ABD} \right) = TI.$

Rate this post

Cảm ơn bạn đã đọc bài viết của Chaolua TV trang web phát sóng trực tiếp bóng đá số 1 Việt Nam. Chúc bạn có những phút giây vui vẻ !

Tham Khảo Thêm:  Top 07 App Chụp Hình đẹp Cho IPhone Và Hướng Dẫn Sử Dụng Chi Tiết

Related Posts

Cakhia TV cập nhật bảng xếp hạng bóng đá Europa League hoàn toàn miễn phí với đầy đủ thông tin cần thiết

Cakhia TV: Cập nhật bảng xếp hạng bóng đá Europa League nhanh, chuẩn

Cakhia TV chính là địa chỉ cập nhật BXH bóng đá Europa League cũng như nhiều giải đấu khác trong nước và trên thế giới khá chuẩn,…

Review khách sạn Hoàng Hưng – khách sạn giá rẻ giữa trung tâm thành phố Quy Nhơn

Với bãi biển cát trắng và làn nước trong xanh, bãi biển Quy Nhơn là lựa chọn của nhiều du khách cho mỗi kỳ nghỉ hè. Nếu…

Động Am Tiên – phiên bản Tuyệt Tình Cốc ở Ninh Bình

Với hành trình du lịch Ninh Bình tự túc, bạn không chỉ được tham quan những địa danh nổi tiếng như: hang Múa, Tràng An, cố đô…

Phố cổ Đồng Văn – vẻ đẹp vượt thời gian nơi địa đầu Tổ quốc

Phố cổ Đồng Văn – Hà Giang là nơi có nhịp sống lặng lẽ với dòng chảy của thời gian. Nhưng cũng không thể giấu đi những…

Tất tần tật lịch các mùa hoa nở ở Mộc Châu

Cao nguyên Mộc Châu được ví như “tắc kè hoa” của núi rừng Tây Bắc. Bởi mỗi mùa Mộc Châu lại khoác lên mình một màu sắc…

Chinh phục núi Hàm Rồng – địa điểm du lịch hấp dẫn tại Sapa

Khu du lịch núi Hàm Rồng là địa điểm bạn không thể bỏ qua trong hành trình du lịch Sapa của mình. Đến với nơi đây, bạn…

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *