Cách Tìm Giao Tuyến Của Hai Mặt Phẳng Cực Hay, Chi Tiết

Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng cực hay và chi tiết – Toán lớp 11

Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng cực hay, chi tiết

Giải toán lớp 11 chi tiết gồm cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng cực hay, đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm giúp các em học sinh ôn tập và biết cách làm bài thi. Luyện tập tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Từ đó đạt điểm cao môn toán lớp 11.

A. Phương pháp giải

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: Ta tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng. Nối hai điểm chung đó để cắt đường mong muốn.

Điểm chung đầu tiên trong hình thức này thường dễ tìm thấy. Phần còn lại của điểm đơn giản là bạn cần tìm hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng liên tiếp và đồng thời chúng thuộc mặt phẳng thứ ba và chúng không song song. Giao điểm của hai đường thẳng đó là điểm chung thứ hai.

Lưu ý: Giao tuyến là đường chung của hai mặt phẳng, tức là giao tuyến là đường thẳng thuộc mặt phẳng này và mặt phẳng kia.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn hơn AB. Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của AD và BC. Tìm sai quảng cáo?

Hình chóp ASABCD có bốn mặt.

B. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO.

C. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) SI.

D. Đường có thể nhìn thấy SO phải được biểu thị bằng các đường đứt nét.

Trả lời

Xem xét các lựa chọn:

+ Phương án A:

Hình chóp S.ABCD có 4 mặt là: (SAB); (SBC); (SCD) và (SAD). Vậy A đúng.

+ Phương án B:

Chúng ta có:

Vậy B đúng

+ Tương tự ta có SI = (SAD) ∩ (SBC). Vậy C đúng.

Dòng + SO không nhìn thấy được, vì vậy nó được thể hiện bằng các đường đứt nét. Vậy D sai. Chọn d.

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối song song. Lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD).

A. SO có nghĩa O là giao điểm của AC và BD.

B. SI là giao điểm của I AB và CD.

C. SE có E là giao điểm của AD và BC.

D. Đáp án khác

Trả lời

+ Ta có: S (SAC) (SBD) (1)

+ Giao điểm của AC và BD trong mp(ABCD) là O. (Bạn đọc tự vẽ hình)

– Bởi vì

+ SO = (SAC)(SBD) từ (1) và (2)

Chọn, chọn một

Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối song song. Lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SCD).

A. SO tức O là giao điểm của AC và BD

B. SI là giao điểm của I AB và CD

C. SE có E là giao điểm của AD và BC

D. Đáp án khác

Trả lời

+ Ta có: S (SAB) (SCD) (1)

+ Gọi giao điểm của AB và CD là I thuộc mp(ABCD). (Bạn đọc tự vẽ hình)

Bởi vì

+ Trừ SI = (SAB) (SCD) từ (1) và (2).

Chọn Xóa

Ví dụ 4: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của mặt phẳng (ACD) và (GAB):

A. AN có N là trung điểm của CD

B. AM có M là trung điểm của AB.

C. AH với H là hình chiếu của A trên BG.

D. AK với K là hình chiếu của C trên BD.

Trả lời

+ ta có: A ∈ (ABG) ∩ (ACD) (1)

Gọi + N là giao điểm của BG và CD. Khi đó N là trung điểm của CD.

Từ (1) và (2) ước lượng: NA = (ABG) (ACD)

Chọn, chọn một.

Ví dụ 5: Cho điểm A không thuộc mp(α) – chứa tam giác BCD. Lấy E; F lần lượt là các điểm thuộc cạnh AB; AC. Khi EF và BC cắt nhau tại I; Khi đó I không phải là điểm chung của hai mặt phẳng nào sau đây?

A. (BCD) và (DEF)

B. (BCD) và (ABC)

C. (BCD) và (AEF)

D. (BCD) và (ABD)

Trả lời

+ Vì I là giao điểm của EF và BC nên I ∈ BC; Ta ∈ (BCD). (Đầu tiên)

+ Ngoài ra tôi là EF

Từ (1) và (2) suy ra:

Chọn DỄ DÀNG

Ví dụ 6: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi tôi; N lần lượt là trung điểm của AC và CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MBD) và (ABN):

A. Đường thẳng MN

B. Đường thẳng AM

C. Đường thẳng BG (G là trọng tâm tam giác ACD)

D. Đường thẳng AH (H là trực tâm của tam giác ACD)

Trả lời

+ ta có: B ∈ (MBD) ∩ (ABN). (Đầu tiên)

+ do M; N lần lượt là trung điểm của AC và CD nên AN và DM là hai đường trung trực của tam giác ACD. Gọi giao điểm của AN và DM là G . Khi đó: G là trọng tâm tam giác ACD

Từ (1) và (2) ước lượng: BG = (ABN) (MBD)

Chọn kích thước

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AB//CD). Điều nào sau đây là sai?

A. Hình chóp S.ABCD có các mặt bên

B. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) SO (O là giao điểm của AC và BD)

C. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) SI (I là giao điểm của AD và BC)

D. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là đường trung bình của ABCD

Trả lời

Chọn DỄ DÀNG

+ Các Mặt Cạnh Hình chóp S.ABCD (SAB), (SBC); (SCD) và (SAD) nên A đúng.

+ S và O là hai điểm chung của (SAC) và (SBD) nên B đúng.

+ S và I là hai điểm chung của (SAD) và (SBC) nên C đúng.

+ (SAB) và (SAD) cắt SA, rõ ràng SA không thể là đường trung bình của hình thang ABCD.

Ví dụ 8: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi O là một điểm nằm trong tam giác BCD và gọi M là một điểm trên đoạn AO. Gọi I, J là hai điểm trên cạnh BC; BD. Giả sử IJ cắt CD tại K, BO cắt IJ tại E, CD tại H, ME cắt AH tại F. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MIJ) và (ACD) là đường thẳng:

A. KM B. AK C. MF D. KF

Trả lời

Chọn d.

+ Vì K là giao điểm của IJ và CD nên: K (MIJ) (ACD) (1)

+ Với ta F là giao điểm của ME và AH

AH (ACD), TÔI (MIJ) nên F (MIJ) (ACD) (2)

Vì (1) và (2) nên (MIJ) (ACD) = KF

Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là trung điểm của SD, điểm J thuộc SC và không trùng với trung điểm của SC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (ABCD) và (AIJ):

A. AK và K là giao điểm của IJ và BC

H với B. AH là giao điểm của IJ và AB

C với G. Giao điểm của AG IJ và AD

D. Giao điểm của IJ và CD với F với AF

Trả lời

Chọn d.

+ A là điểm chung thứ nhất của (ABCD) và (AIJ).

+ IJ và CD cắt nhau tại F nhưng IJ cắt BC; QUẢNG CÁO; AB

Vậy F là điểm chung thứ hai của (ABCD) và (AIJ).

Vậy (ABCD) và (AIJ) cắt AF

C. bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho tứ diện đều S.ABC. Nhận điểm E; F trên đoạn SA; SB và điểm G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm giao điểm của mp(EFG) và mp(SBC).

A. FM có M là giao điểm của AB và EG.

B. FN với N là giao điểm của AB và EF.

C. FT với T là giao điểm của EG và SB.

D. Đáp án khác

Trả lời:

+ trong mp(SAB); Gọi H là giao điểm của EF và AB.

+ trong mp(ABC); GỌI HG CẮT AC; BC lần lượt tại I và J.

+ Ta có:

Và

Từ (1) và (2) ước lượng: JF = (EFG) (SBC)

Chọn DỄ DÀNG

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi tôi; N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN) và (SAC):

A.SĐ

B.SO

C. SG (G là trung điểm của AB)

D. SF (F là trung điểm của MD)

Trả lời:

+ ta có: S (SMN) ∩ (SAC) (1)

Mặt phẳng (ABCD) chứa:

AM = NC = 1/2 AD và AM // NC

⇒ Tứ giác AM CN là hình bình hành.

Vì O là trung điểm của AC nên O cũng là trung điểm của MN (tính chất hình bình hành).

+ Ta có:

Từ (1) và (2) ước lượng: SO = (SAC)(SMN)

Chọn Xóa

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA, SB; Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD. Điều nào sau đây là sai?

A. Tứ giác IJCD là hình thang

B. Giao tuyến của (SAB) và (IBC) là IB.

C. Giao tuyến của (SBD) và (JCD) là JD.

D. (IAC) và (JBD) cắt nhau AO.

Trả lời:

+ Ta có IJ là đường trung tuyến của tam giác SAB

⇒ IJ // AB

AB // CD bất kỳ (do ABCD là hình chữ nhật)

⇒ IJ // CD

⇒ Tứ giác IJCD là hình thang. Vậy A đúng.

+ Ta có:

I (SAB) (IBC) và B ∈ (SAB) (IBC)

⇒ IB = (SAB)(IBC)

Vậy B đúng

+ Ta có:

J (SBD) (JBD) và D (SBD) (JBD)

⇒ JD = (SBD) (JBD)

Vậy C đúng

+ Trong mặt phẳng (IJCD), gọi M là giao điểm của IC và JD

Khi đó: (IAC) và (JBD) cắt MO

Vậy D sai

Chọn DỄ DÀNG

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AD // BC). Gọi M là trung điểm của CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC):

A. SI (I giao điểm của AC và BM)

B. SJ (J là giao điểm của AM và BD)

C. SO (O là giao điểm của AC và BD)

D. SP (P là giao điểm của AB và CD)

Trả lời:

+ Ta có:

S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (SBM) và (SAC) (1).

+ Ta có:

Từ (1) và (2) ước lượng: SI = (SBM) (SAC)

Chọn, chọn một

Câu 5: Cho 4 điểm A; B; C; D không đồng phẳng. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AD, BC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (KAD).

A. IK B. BC C. AK D. DK

Trả lời:

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) là IK

Chọn, chọn một

Câu 6: S. Cho đáy ABCD có đáy là hình thang (AB // CD). Gọi I là giao điểm của AC và BD. Trên cạnh SB; Lấy điểm M. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ADM) và (SAC).

A. SI

B. AE với E là giao điểm của DM và SI

C.ĐM

D. DE với E là giao điểm của DM và SI

Trả lời:

+ ta có: A ∈ (ADM) (SAC) (1)

+ Trong mặt phẳng (SBD), gọi E là giao điểm của SI và DM.

Chúng ta có:

E SI ⊂ (SAC) nên E ∈ (SAC)

E DM ⊂ (ADM) nên E (ADM)

Do đó E (ADM) (SAC) (2)

Từ (1) và (2) ước lượng: EA = (ADM) (SAC)

Chọn Xóa

Câu 7: Cho tứ diện ABCD và điểm M nằm trong tam giác ACD. Gọi I, J lần lượt là 2 điểm trên các cạnh BC, BD sao cho IJ không song song với CD. Gọi H; K lần lượt là giao điểm của IJ với CD; MH và AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (IJM):

A. KI B. KJ C. MI D. MH

Trả lời:

+ trong mặt phẳng (BCD); Ta có IJ cắt CD tại H nên H (ACD)

+ 3 điểm H; I và J thẳng hàng nên bốn điểm M; Tôi là; J; H là đồng phẳng

⇒ Trong mặt phẳng (IJH), MH cắt IJ tại H và MH cắt (IJM) (1)

+ Mặt khác:

Từ (1) và (2) ước lượng: MH = (ACD) (IJM)

Chọn DỄ DÀNG

Câu 8: Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD, I là một điểm trên đoạn thẳng AG, BI cắt mặt phẳng (ACD) tại J. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. AM = (ACD)(ABG)

bố; J; M liên tiếp

C. J là trung điểm của AM

D DJ = (ACD)(BDJ)

Trả lời:

Chọn kích thước

Vậy A đúng

+ ba chữ A; J và M là hai mặt phẳng phân biệt (ACD) và (ABG) nên A; J; M thẳng hàng nên B đúng.

+ Vì I là điểm tuỳ ý trên AG nên J không phải lúc nào cũng là trung điểm của AM.

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD; SCN//TCN. Gọi I là giao điểm của AB và CD, gọi M là trung điểm của SC. DM gặp mặt phẳng (SAB) tại J . Điều nào sau đây là sai?

NHƯ, tôi; J trong dòng

B. DM mp(SCI)

C. JM mp(SAB)

D. SI = (SAB) (SCD)

Trả lời:

Chọn kích thước

+ ba điểm S; A đúng vì I và J thẳng hàng là ba điểm cùng thuộc hai mp(SAB) và (SCD)

Sau đó; Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) SI

Đ đúng

+ M SC ⇒ M(SCI) nên DM mp(SCI) thì B đúng

+ M ∉ (SAB) nên JM ⊄ mp(SAB). Vậy C sai